Generalized monotone triangles – an extended combinatorial reciprocity theorem

In a recent work, the combinatorial interpretation of the polynomial α(n; k1, k2, . . . , kn) counting the number of Monotone Triangles with bottom row k1 < k2 < · · · < kn was extended to weakly decreasing sequences k1 ≥ k2 ≥ · · · ≥ kn. In this case the evaluation of the polynomial is equal to a signed enumeration of objects called Decreasing Monotone Triangles. In this paper we define Generalized Monotone Triangles – a joint generalization of both ordinary Monotone Triangles and Decreasing Monotone Triangles. As main result of the paper we prove that the evaluation of α(n; k1, k2, . . . , kn) at arbitrary (k1, k2, . . . , kn) ∈ Z is a signed enumeration of Generalized Monotone Triangles with bottom row (k1, k2, . . . , kn). Computational experiments indicate that certain evaluations of the polynomial at integral sequences yield well-known round numbers related to Alternating Sign Matrices. The main result provides a combinatorial interpretation of the conjectured identities and could turn out useful in giving bijective proofs. Résumé. Dans un travail récent, l’interprétation combinatoire du polynôme α(n; k1, k2, . . . , kn) comptant le nombre de triangles monotones avec dernière ligne k1 < k2 < · · · < kn a été étendue aux suites faiblement décroissantes k1 ≥ k2 ≥ · · · ≥ kn. Dans ce cas l’évaluation du polynôme est égale à l’énumération signée d’objets appelés triangles monotones décroissants. Dans ce papier nous définissons des triangles monotones généralisés – une généralisation commune des triangles monotones ordinaires et décroissants. Notre résultat principal est que l’évaluation de α(n; k1, k2, . . . , kn) en un quelconque (k1, k2, . . . , kn) ∈ Z est une énumération signée de triangles monotones généralisés avec dernière ligne (k1, k2, . . . , kn). Des calculs par ordinateur indiquent que certaines valeurs du polynôme sont des nombres bien connus liés aux matrices à signe alternant. Le résultat principal fournit une interprétation combinatoire des identités conjecturales et pourrait être utile dans l’obtention de preuves bijectives.